Question

設函數

(Ⅰ)若，是否存在k和m，使得 ，，若存在，求出k和m的值，若不存在，說明理由

(Ⅱ)設 有兩個零點 ，且 成等差數列， 是 G (x)的導函數，求證：

 

Answer 1

(Ⅰ) 存在k=2，m=-1；(Ⅱ)見解析

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 先求，然后根據條件很容易求出a，b，此時會發現和圖象有一個公共點（1，1），根據問題：是否存在k和m，使得，，也就是找到一條直線要同時滿足這兩個不等式．根據存在的公共點可以想到是否是過這一點的直線，故先求出還在（1，1）的切線，然后去驗證它是否同時滿足，即可．(Ⅱ)先求出，根據條件x1，x2是它的兩個零點，所以x12?alnx1?bx1+2＝0且x22?alnx2?bx2+2＝0．根據所要證的結論：，所以需要求，利用x1+x2=2x0，將用x1，x2表示出來，然后判斷它是否大于0即可．

試題解析：(Ⅰ)=，=，由得：a+b＝2， b＝1，解得，解得a=b=1．∴=．

因與有一個公共點（1，1），易求得函數=在點（1，1）的切線方程為．

下面驗證，都成立即可．

設h（x）=lnx+x-(2x-1)=lnx-x+1，所以=＝．

x∈（0，1）時，＞0；x∈（1，+∞）時，＜0，∴x=1時，取最大值=0；

∴lnx+x≤2x-1恒成立，即≤2．

由于，得，∴≥恒成立．

故存在這樣的k，m，且k=2，m=-1． 6分

(Ⅱ) 因為==，有兩個零點x1，x2，

則x12?alnx1?bx1+2＝0且x22?alnx2?bx2+2＝0，

兩式相減得，x12? x22-a(lnx1? lnx2)-b(x1?x2)＝0，

所以=，又因為x1+x2=2x0，

因為=，所以===

==，

當0＜＜時，令=，則＞1，且=，

設=（t＞1），所以==＞0，所以在[1，+）上是增函數，

所以當t＞1時，＞=0，即＞0，

又因為a＞0，＞0，所以＞0，

當時，同理可證＞0，

綜上所述＞0， 12分

考點：常見函數的導數，導數的運算法則，函數的切線，函數零點，導數的綜合運用，運算求解能力，推理論證能力，轉化與化歸思想