Question

【題目】設，

（Ⅰ）求的單調區間和最小值；

（Ⅱ）討論與的大小關系；

（Ⅲ）求的取值范圍，使得對任意成立．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的單調減區間是，單調遞增區間是，最小值為；（II）當時， ，當時， ；（III）.

【解析】試題分析：（I）求導，并判斷導數的符號確定函數的單調區間和極值、最值，即可求得結果；（Ⅱ）通過函數的導數，利用函數的單調性，比較兩個函數的大小關系即可；（Ⅲ）利用（Ⅰ）的結論，轉化不等式，求解即可．

試題解析：（Ⅰ）由題設知、，∴，令，得

當時， ，故是的單調減區間．

當時， ，故是的單調遞增區間，因此，

是的唯一值點，且為極小值點，從而是最小值點，所以最小值為.

（Ⅱ）設，則，當時， 即，當，時，因此在內單調遞減，當時， 即．當時， 即

（Ⅲ）由（Ⅰ）知的最小值為，所以， ，對任意，成立，即，從而得．