【題目】已知函數
函數在點
處的切線為
．
（1）求函數
的值，并求出
在
上的單調區間；
（2）若
，且
，求證：
．
【答案】（1）
時，
為增函數，
時，為減函數；（2）證明見解析.
【解析】
試題分析：（1）先利用切點和斜率，列方程組，求得
，此時
，將區間分為
和
來研究函數的單調性，其中部分要用二階導數來求；（2）根據
，代入函數的表達式，化簡得
，令
，換元后構造函數
，利用導數證明，
.
試題解析：
（1）由題意：
，所以
，解得，
故
．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
當時，
為減函數，且
為增函數，．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
當時，
為增函數，且
，
故存在唯一
使
，所以
在
上為減函數，在
上為增函數，
又因為
，所以
時，
為減函數，．．．．．．．．．．．．5分
綜上可知：時，為增函數；
時，為減函數．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）由，得
，
所以
，兩邊同除以
，
得，令，則
，
所以
，得
．．．．．．8分
因為
，所以
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分
令
，則
，
當
時，
為減函數，
當
時，
為減函數，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
所以
，（也可以利用斜率），所以
，
又
，所以
，故，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
黃岡小狀元解決問題天天練系列答案
三點一測快樂周計劃系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】第十二屆全國人民代表大會第五次會議和政協第十二屆全國委員會第五次會議（簡稱兩會）分別于2017年3月5日和3月3日在北京開幕，某高校學生會為了解該校學生對全國兩會的關注情況，隨機調查了該校200名學生，并將這200名學生分為對兩會“比較關注”與“不太關注”兩類，已知這200名學生中男生比女生多20人，對兩會“比較關注”的學生中男生人數比女生人數之比為
，對兩會“不太關注”的學生中男生比女生少5人．
（Ⅰ）根據題意建立的
列聯表，并判斷是否有
的把握認為男生與女生對兩會的關注有差異？
（Ⅱ）該校學生會從對兩會“比較關注”的學生中根據性別進行分層抽樣，從中抽取7人，再從這7人中隨機選出2人參與兩會宣傳活動，求這2人全是男生的概率．
附：
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
， 
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
， 
（
、
為常數）．
（Ⅰ）求函數
在點
處的切線方程；
（Ⅱ）當函數
在
處取得極值
，求函數
的解析式；
（Ⅲ）當
時，設
，若函數
在定義域上存在單調減區間，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，我海監船在
島海域例行維權巡航，某時刻航行至
處，此時測得其東北方向與它相距32海里的
處有一外國船只，且
島位于海監船正東
海里處．
（1）求此時該外國船只與島的距離；
（2）觀測中發現，此外國船只正以每小時8海里的速度沿正南方向航行，為了將該船攔截在離島24海里處，不讓其進入島24海里內的海域，試確定海監船的航向，并求其速度的最小值．（參考數據：
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對綿陽南山實驗學校的500名教師的年齡進行統計分析，年齡的頻率分布直方圖如圖所示，規定年齡在
內的為青年教師，
內的為中年教師，
內的為老年教師.
（1）求年齡
，
內的教師人數；
（2）現用分層抽樣的方法從中、青年中抽取18人進行同課異構課堂展示，求抽到年齡在
內的人數.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，小波從
街區開始向右走，在每個十字路口都會遇到紅綠燈，要是遇到綠燈則小波繼續往前走，遇到紅燈就往回走，假設任意兩個十字路口的綠燈亮或紅燈亮都是相互獨立的，且綠燈亮的概率都是
，紅燈亮的概率都是
．
（1）求小波遇到4次綠燈后，處于
街區的概率；
（2）若小波一共遇到了3次紅綠燈，設此時小波所處的街區與
街區相距的街道數為
（如小波若處在
街區則相距零個街道，處在
，
街區都是相距2個街道），求
的分布列和數學期望．
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