Question

4．設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對x∈R，都有f（x-2）=f（x+2），且當(dāng)x∈[-2，0]時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，若在區(qū)間[-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3個不同實根，則a的取值范圍是（　　）

• A． $\root{3}{4}$＜a＜2
• B． 1＜a＜2
• C． $\root{3}{4}$＜a＜$\root{6}{9}$
• D． 1＜a＜$\root{3}{7}$

Answer 1

分析 由已知中可以得到函數(shù)f（x）是一個周期函數(shù)，且周期為4，將方程f（x）-log_a^x+2=0恰有3個不同的實數(shù)解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的與函數(shù)y=-log_a^x+2的圖象恰有3個不同的交點，數(shù)形結(jié)合即可得到實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵對于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），∴函數(shù)f（x）是一個周期函數(shù)，且T=4．
又∵當(dāng)x∈[-2，0]時，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，且函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
若在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3個不同的實數(shù)解，
則函數(shù)y=f（x）與y=log_a（x+2）在區(qū)間（-2，6]上有三個不同的交點，如下圖所示：

又f（-2）=f（2）=3，
則對于函數(shù)y=log_a（x+2），由題意可得，當(dāng)x=2時的函數(shù)值小于3，當(dāng)x=6時的函數(shù)值大于3，
即log_a4＜3，且log_a8＞3，由此解得：$\root{3}{4}$＜a＜2，
故選：A．

點評 本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中根據(jù)方程的解與函數(shù)的零點之間的關(guān)系，將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題，是解答本題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．