Question

16．已知f（x）是定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且不等式xf'（x）＜2f（x）恒成立，則（　　）

• A． 4f（1）＜f（2）
• B． 4f（1）＞f（2）
• C． f（1）＜4f（2）
• D． f（1）＜2f'（2）

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，（x＞0），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，求出g（1）＞g（2），從而求出答案．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，（x＞0），則g′（x）=$\frac{xf′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
∵不等式xf'（x）＜2f（x）恒成立，
∴xf'（x）-2f（x）＜0，即g′（x）＜0，
g（x）在（0，+∞）遞減，
故g（1）＞g（2），
故4f（1）＞f（2），
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)g（x）是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．