Question

19．表面積為$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$的正四面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}π$
• B． $\frac{1}{3}π$
• C． $\frac{2}{3}π$
• D． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}π$

Answer 1

分析 將正四面體補成正方體，再將正方體放在一個球體中，利用它們之間的關系求解．

解答 解：如圖，將正四面體補形成一個正方體，
設正四面體棱長為a，
∵表面積為$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$的正四面體，
∴4×$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，解得a=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
∴正方體的棱長是$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
又∵球的直徑是正方體的對角線，設球半徑是R，
∴2R=$\sqrt{2}$，
∴R=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴球的體積為$\frac{4}{3}π•（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$π．
故選：A．

點評 巧妙構造正方體，利用正方體的外接球的直徑為正方體的對角線，從而將問題巧妙轉化．若已知正四面體V-ABC的棱長為a，求外接球的半徑，可以構造出一個球的內接正方體，再應用對角線長等于球的直徑可求得．