Question

已知函數f（x）=x³+bx²+cx的極值點為x=-

2

3

和x=1
（1）求b，c的值與f（x）的單調區間
（2）當x∈[-1，2]時，不等式f（x）＜m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）對函數進行求導，令f'（1）=0，f'（-

2

3

）=0可求出b，c的值，再利用導數求出函數單調區間即可．
（2）根據函數的單調性求出f（x）在[-1，2]上的最大值，繼而求出m的范圍

解答： 解：（1）∵f（x）=x³+bx²+cx，
∴f'（x）=3x²+2bx+c，
∵f（x）的極值點為x=-

2

3

和x=1
∴f'（1）=3+2b+c=0，f'（-

2

3

）=

4

3

-

4

3

b+c=0，
解得，b=-

1

2

，c=-2，
∴f'（x）=（3x+2）（x-1），
當f'（x）＞0時，解得x＜-

2

3

，或x＞1，
當f'（x）＜0時，解得-

2

3

＜x＜1，
故函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，-

2

3

）和（1，+∞），單調減區間為（-

2

3

，1），
（2）有（1）知f（x）=x³-

1

2

x²-2x，x∈[-1，2]，
故函數在[-1，-

2

3

）和（1，2]單調遞增增，在（-

2

3

，1）單調遞減，
當x=-

2

3

，函數有極大值，f（-

2

3

）=

22

27

，f（2）=2，
所以函數的最大值為2，
所以不等式f（x）＜m在x∈[-1，2]時恒成立，
故m＞2
故實數m的取值范圍為（2，+∞）

點評：本題主要考查函數的單調性、極值與導函數之間的關系．屬中檔題