Question

2．如圖1，直角梯形ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，EF∥AB，將四邊形CDFE沿EF折起，使DF⊥AF，BD與平面ABEF所成角為45°，DF=2CE=2，AB=$\sqrt{2}$，如圖2

（1）求證：AE⊥平面BDF
（2）設$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AF}$，λ∈[0，1]，是否存在符合條件的點M，使得C-BD-M為直二面角，若存在，求出相應的λ值，否則說明理由．

Answer 1

分析 （1）推導出EF⊥DF，DF⊥AF，從而DF⊥平面ABEF，進而DF⊥BF，DF⊥AE，由此得到四邊形ABEF為正方形，從而AE⊥BF，由此能證明AE⊥平面BDF．
（2）以F為坐標原點，FE、FA、FD所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出存在符合條件的點M使得C-BD-M為直二面角，且λ=1．

解答 證明：（1）由已知在直角梯形ABCD中，EF∥AB，得EF⊥DF．
又DF⊥AF，∴DF⊥平面ABEF，∴DF⊥BF，DF⊥AE．
又BD與平面ABEF所成角為45°，∴DF=BF=2．
在Rt△BEF中，BE=$\sqrt{B{F}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{2}$，∴四邊形ABEF為正方形．
∴AE⊥BF，∴AE⊥平面BDF．…（5分）
解：（2）以F為坐標原點，FE、FA、FD所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖，
則F（0，0，0），A（0，$\sqrt{2}$，0），B（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$，0）C（$\sqrt{2}$，0，1），D（0，0，2），…（6分）
$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}$=（-$\sqrt{2}$，0，0）+λ（0，-$\sqrt{2}$，0）=（-$\sqrt{2}，-\sqrt{2}λ，0$），
$\overrightarrow{BD}$=（-$\sqrt{2}，-\sqrt{2}，2$），$\overrightarrow{DC}$=（$\sqrt{2}，0，-1$），…（7分）
設平面BCD的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），平面BDM的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{m}=\sqrt{2}x+\sqrt{2}y-2z=0}\\{\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{m}=\sqrt{2}x-z=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，$\sqrt{2}$），…（8分）
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{n}=a+λb=0}\\{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{n}=\sqrt{2}a+\sqrt{2}b-2c=0}\end{array}\right.$，令a=-λ，得$\overrightarrow{n}$=（-$λ，1，\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}λ}{2}$），…（10分）
由$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，得-$λ+1+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}λ}{2}×\sqrt{2}=0$，解得λ=1∈[0，1]，…（11分）
所以存在符合條件的點M使得C-BD-M為直二面角，且λ=1．…（12分）

點評 本題考查線面垂直的證明，考查滿足二面角為直二面角的點的確定與求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．