Question

14．已知正實數x，y滿足$\frac{x}{2}$+2y-2=lnx+lny，則x^y=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 令f（x）=$\frac{x}{2}$-lnx-2，令g（y）=lny-2y，問題轉化為求f（x）的最小值和g（y）的最大值，從而求出對應的x，y的值，從而求出x^y的值即可．

解答 解：令f（x）=$\frac{x}{2}$-lnx-2，
則f′（x）=$\frac{x-2}{2x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴f（x）在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
∴f（x）≥f（2）=-ln2-1，
令g（y）=lny-2y，
則g′（y）=$\frac{1-2y}{y}$，
令g′（y）＞0，解得：y＜$\frac{1}{2}$，
令g′（y）＜0，解得：y＞$\frac{1}{2}$，
∴g（y）在（0，$\frac{1}{2}$）遞增，在（$\frac{1}{2}$，+∞）遞減，
∴g（y）≤g（$\frac{1}{2}$）=-ln2-1，
∴x=2，y=$\frac{1}{2}$時，$\frac{x}{2}$-lnx-2=lny-2y，
∴x^y=${2}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道中檔題．