Question

（本小題滿分10分）選修44：坐標系與參數方程

在極坐標系內，已知曲線的方程為，以極點為原點，極軸方向為正半軸方向，利用相同單位長度建立平面直角坐標系，曲線的參數方程為（為參數）.

（1）求曲線的直角坐標方程以及曲線的普通方程；

（2）設點為曲線上的動點，過點作曲線的切線，求這條切線長的最小值.

 

Answer 1

（1）曲線的直角坐標方程為，曲線的普通方程為；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由題意可利用直角坐標與極坐標的互化公式代入曲線的極坐標方程，可將其轉化為直角坐標方程；經過消參可以將曲線的參數方程轉化為普通方程.由曲線的極坐標方程，將代入得，整理得；由曲線的參數方程（為參數），消掉參數可得曲線的普通方程為.

（2）由題意可知，過圓心作曲線的垂線，且相交于點，則交點為所求的點，再利用勾股定理可求出切線長的最小值.由（1）知曲線的圓心坐標為，半徑為1，利用點到直線的距離公式可求得圓心到曲線的距離為，所以所切線長為.

試題解析：（1）對于曲線的方程為，

可化為直角坐標方程，即；

對于曲線的參數方程為（為參數），

可化為普通方程. 5分

（2）過圓心點作直線的垂線，此時切線長最小，

則由點到直線的距離公式可知，，

則切線長. 10分

考點：1.曲線的極坐標方程與直角坐標方程的互化；2.點到直線的距離公式.