Question

18．若函數(shù)y=f（x），x∈D同時滿足下列條件：
①函數(shù)y=f（x）在D內(nèi)為單調(diào)函數(shù)；
②存在實數(shù)m，n∈D，m＜n，當(dāng)x∈[m，n]時，函數(shù)y=f（x）的值域為[m，n]，則稱此函數(shù)f（x）在D內(nèi)為等射函數(shù)，設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{{a^x}+a-3}}{lna}$（a＞0，a≠1），
則：
（1）函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)性為遞增（填“遞增”“遞減”“先增后減”“先減后增”）
（2）當(dāng)y=f（x）在實數(shù)集R內(nèi)等射函數(shù)時，a的取值范圍是（0，1）∪（1，2） ．

Answer 1

分析 （1）對函數(shù)求導(dǎo)可得f′（x）=a^x＞0，故函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)．
（2）根據(jù)題意m，n是方程$\frac{{a}^{x}+a-3}{lna}$=x 的兩個根．構(gòu)建函數(shù)g（x）=$\frac{{a}^{x}+a-3}{lna}$-x，則函數(shù)g（x）=$\frac{{a}^{x}+a-3}{lna}$-x 有兩個零點，令g′（x）=a^x-1，分類討論，確定a的范圍．

解答 解：（1）對于函數(shù)f（x）=$\frac{{{a^x}+a-3}}{lna}$（a＞0，a≠1），
求導(dǎo)可得f′（x）=a^x＞0，故函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，
故函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）上的單調(diào)性為遞增．
∵存在實數(shù)m，n，當(dāng)定義域為[m，n]時，值域為[m，n]．
∴f（m）=m，f（n）=n，∴m，n是方程$\frac{{a}^{x}+a-3}{lna}$=x 的兩個根．
構(gòu)建函數(shù)g（x）=$\frac{{a}^{x}+a-3}{lna}$-x，則函數(shù)g（x）=$\frac{{a}^{x}+a-3}{lna}$-x 有兩個零點，令g′（x）=a^x-1．
①0＜a＜1時，g′（x）=a^x-1在（-∞，0）上大于零，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0），
g′（x）=a^x-1在（0，+∞）上小于零，故單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞）．
∵g（0）＞0，∴函數(shù)有兩個零點，故滿足題意．
②a＞1時，g′（x）=a^x-1在（-∞，0）上小于零，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0），
g′（x）=a^x-1在（0，+∞）上大于零，故單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）．
要使函數(shù)有兩個零點，則g（0）＜0，∴$\frac{1+a-3}{lna}$＜0，∴a＜2，∴1＜a＜2．
綜上可知，a的取值范圍是（0，1）∪（1，2）．
故答案為：（1）遞增；（2）（0，1）∪（1，2）．

點評 本題考查新定義，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確理解新定義是關(guān)鍵，屬于難題．