Question

4．已知函數$f（x）={log_2}（{x^2}+2）$，$\overrightarrow a=（m，1）$，$\overrightarrow b=（\frac{1}{2}，\frac{m}{2}）$，且m＞0，若$f（\overrightarrow a•\overrightarrow b）≥f（|\overrightarrow a-\overrightarrow b|）$，試求m的取值范圍．

Answer 1

分析 進行數量積的運算，先求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=m$，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{\frac{5{m}^{2}}{4}-2m+\frac{5}{4}}$，并且容易判斷函數f（x）為偶函數，且單調遞增在（0，+∞）上，從而根據$f（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）≥f（|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|）$便可得到不等式$m≥\sqrt{\frac{5}{4}{m}^{2}-2m+\frac{5}{4}}$，這樣解該不等式便可得出m的取值范圍．

解答 解：∵$\overrightarrow a=（m，1），\overrightarrow b=（\frac{1}{2}，\frac{m}{2}）$，m＞0；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{m}{2}+\frac{m}{2}=m$，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{（m-\frac{1}{2}）^{2}+（1-\frac{m}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{5{m}^{2}}{4}-2m+\frac{5}{4}}$；
由$f（x）={log_2}（{x^2}+2）$知f（x）為偶函數且在（0，+∞）上單調遞增；
∵$f（\overrightarrow a•\overrightarrow b）≥f（|\overrightarrow a-\overrightarrow b|）$；
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b≥|\overrightarrow a-\overrightarrow b|$；
∴$m≥\sqrt{\frac{5}{4}{m^2}-2m+\frac{5}{4}}$且m＞0；
∴解得$4-\sqrt{11}≤m≤4+\sqrt{11}$；
∴m的取值范圍為$[4-\sqrt{11}，4+\sqrt{11}]$．

點評 考查數量積的坐標運算，向量坐標的減法運算，以及偶函數和增函數的定義及判斷，無理不等式的解法．