Question

16．設函數f（x）=x³-$\frac{3}{2}$（a+1）x²+3ax+4，其中a∈R．
（1）若f（x）在x=2處取得極值，求常數a的值；
（2）若f（x）在（-∞，0）上為增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，計算f′（2）=0，求出a的值即可；（2）問題轉化為3（x-a）（x-1）≥0在（-∞，0）恒成立，即x-a≤0在（-∞，0）恒成立，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）由f（x）=x³-$\frac{3}{2}$（a+1）x²+3ax+4，
則f′（x）=3x²-3（a+1）x+3a=3（x-a）（x-1），
若f（x）在x=2處取得極值，
則f′（2）=3（2-a）（2-1）=0，解得：a=2；
（2）若f（x）在（-∞，0）上為增函數，
則f′（x）=3x²-3（a+1）x+3a=3（x-a）（x-1）≥0在（-∞，0）恒成立，
即x-a≤0在（-∞，0）恒成立，
故a≥0．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道中檔題．