Question

1．若函數f（x）=2x³-3mx²+6x在區間（1，+∞）上為增函數，則實數m的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，1]
• B． （-∞，1）
• C． （-∞，2]
• D． （-∞，2）

Answer 1

分析 求f′（x）=6x²-6mx+6，根據題意可知f′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，可設g（x）=6x²-6mx+6，法一：討論△的取值，從而判斷g（x）≥0是否在（1，+∞）上恒成立：△≤0時，容易求出-2≤m≤2，顯然滿足g（x）≥0；△＜0時，得到關于m的不等式組，這樣求出m的范圍，和前面求出的m范圍求并集即可，法二：分離參數，此時求出m的范圍即可．

解答 解：f′（x）=6x²-6mx+6；
由已知條件知x∈（1，+∞）時，f′（x）≥0恒成立；
設g（x）=6x²-6mx+6，則g（x）≥0在（1，+∞）上恒成立；
法一：（1）若△=36（m²-4）≤0，即-2≤m≤2，滿足g（x）≥0在（1，+∞）上恒成立；
（2）若△=36（m²-4）＞0，即m＜-2，或m＞2，
則需：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m}{2}＜1}\\{g（1）=6-6m≥0}\end{array}\right.$解得m≤2；
∴m＜-2，
∴綜上得m≤2，
∴實數m的取值范圍是（-∞，2]；
法二：問題轉化為m≤x+$\frac{1}{x}$在（1，+∞）恒成立，
而函數y=x+$\frac{1}{x}$≥2，
故m≤2；
故選：C．

點評 考查函數單調性和函數導數符號的關系，熟練掌握二次函數的圖象，以及判別式△的取值情況和二次函數取值的關系．