Question

6．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-$\frac{1}{2}$．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=$lo{g}_{\frac{1}{2}}{{a}_{n}}^{2}$，求數列{$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用數列遞推關系與等比數列的通項公式即可得出．
（2）利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=2a_n-$\frac{1}{2}$，∴a₁=2a₁-$\frac{1}{2}$，解得a₁=$\frac{1}{2}$，
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-$\frac{1}{2}$-$（2{a}_{n-1}-\frac{1}{2}）$，化為：a_n=2a_n-1，
∴數列{a_n}是等比數列，首項為$\frac{1}{2}$，公比為2．
∴a_n=$\frac{1}{2}×{2}^{n-1}$=2^n-2．
（2）b_n=$lo{g}_{\frac{1}{2}}{{a}_{n}}^{2}$=-$lo{g}_{2}{2}^{2n-4}$=4-2n．
∴$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{4-2n}{{2}^{n-2}}$=$\frac{2-n}{{2}^{n-3}}$．
∴數列{$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$}的前n項和T_n=$\frac{1}{{2}^{-2}}$+0-1-$\frac{2}{2}$-$\frac{3}{{2}^{2}}$-…-$\frac{n-2}{{2}^{n-3}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{-1}}$+0-$\frac{1}{2}$-$\frac{2}{{2}^{2}}$-…-$\frac{n-3}{{2}^{n-3}}$-$\frac{n-2}{{2}^{n-2}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{-2}}$-$\frac{1}{{2}^{-1}}$-1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{2}}$-…-$\frac{1}{{2}^{n-3}}$+$\frac{n-2}{{2}^{n-2}}$=4-$\frac{2（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$+$\frac{n-2}{{2}^{n-2}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴T_n=$\frac{n}{{2}^{n-3}}$．

點評 本題考查了數列遞推關系、等比數列的通項公式與求和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．