Question

1．設點P，Q分別是曲線y=xe^-x（e是自然對數的底數）和直線y=x+3上的動點，則P，Q兩點間距離的最小值為（　　）

• A． $\frac{（4e-1）\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{（4e+1）\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 對曲線y=xe^-x進行求導，求出點P的坐標，分析知道，過點P直線與直線y=x+2平行且與曲線相切于點P，從而求出P點坐標，根據點到直線的距離進行求解即可．

解答 解：∵點P是曲線y=xe^-x上的任意一點，和直線y=x+3上的動點Q，
求P，Q兩點間的距離的最小值，就是求出曲線y=xe^-x上與直線y=x+3平行的切線與直線y=x+3之間的距離．
由y′=（1-x）e^-x ，令y′=（1-x）e^-x =1，解得x=0，
當x=0，y=0時，點P（0，0），
P，Q兩點間的距離的最小值，即為點P（0，0）到直線y=x+3的距離，
∴d_min=$\frac{3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故選C．

點評 此題主要考查導數研究曲線上某點的切線方程以及點到直線的距離公式，利用了導數與斜率的關系，這是高考常考的知識點，是基礎題．