Question

13．下列函數在其定義域中，既是奇函數又是增函數的（　　）

• A． y=x+1
• B． y=-x²
• C． y=x|x|
• D． $y=\frac{1}{x}$

Answer 1

分析 利用函數奇偶性的定義判斷各個選項中的函數的奇偶性，化簡后由基本初等函數的單調性，判斷函數在定義域上的單調性，從而得出答案．

解答 解：因y=x+1的圖象不關于原點對稱，所以不是奇函數，不符合題意；
y=-x²在定義域R上為偶函數，不符合題意；
因函數y=x|x|的定義域為R，且（-x）|-x|=-x|x|，所以為奇函數，
又y=x|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x≥0}\\{-{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，則函數y=x|x|在[0，+∞），（-∞，0）上單調遞增，
∵0²=-0²，∴該函數在定義域R上是增函數，符合題意；
由于函數y=-$\frac{1}{x}$是奇函數，但在定義域（-∞，0）∪（0，+∞）上不是增函數，不符合題意．
故選C．

點評 本題考查函數的單調性、奇偶性的判斷，以及含絕對值函數的處理方法：去絕對值號，熟練掌握基本初等函數的奇偶性、單調性是解題的關鍵，屬于中檔題．