Question

5．若x＞0，y＞0且2x+y=3，則$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值是$\frac{1}{3}（3+2\sqrt{2}）$．

Answer 1

分析 先將2x+y=3化為1，利用“1”的代換和基本不等式求出$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值．

解答 解：由2x+y=3得，$\frac{1}{3}$（2x+y）=1，
因為x＞0，y＞0，
所以$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=$\frac{1}{3}$（2x+y）（$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$）
=$\frac{1}{3}$（3+$\frac{y}{x}+\frac{2x}{y}$）$≥\frac{1}{3}（3+2\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{2x}{y}}）$=$\frac{1}{3}（3+2\sqrt{2}）$，
當且僅當$\frac{y}{x}=\frac{2x}{y}$時取等號，
即$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值是$\frac{1}{3}（3+2\sqrt{2}）$，
故答案為：$\frac{1}{3}（3+2\sqrt{2}）$．

點評 本題考查基本不等式在求最值中的應用，以及利用“1”的代換，考查轉化思想，化簡、變形能力．