Question

17．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點為F₁，F₂，P是橢圓上任意一點，且|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{2}$，它的焦距為2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在正實數t，使直線x-y+t=0與橢圓C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在圓x²+y²=$\frac{5}{6}$上，若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接根據橢圓的定義可求出a，再利用a²=b²+c²求出c即可；
（2）聯立方程組利用韋達定理求出x₁+x₂=$-\frac{4t}{3}$，y₁+y₂=x₁+x₂+2t=$\frac{2t}{3}$，帶入中點坐標到圓方程即可求出t值．

解答 解：（1）因為F₁，F₂為左、右焦點，P是橢圓上任意一點，且|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{2}$
∴a=$\sqrt{2}$；
∵2c=2⇒c=1；
∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1；
所以，橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x-y+t=0}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化簡后有：3x²+4tx+2t²-2=0  ①；
由①知：x₁+x₂=$-\frac{4t}{3}$ 
所以：y₁+y₂=x₁+x₂+2t=$\frac{2t}{3}$；
由于線段AB的中點在圓x²+y²=$\frac{5}{6}$上，
所以有：$（-\frac{2t}{3}）^{2}+（\frac{t}{3}）^{2}=\frac{5}{6}$⇒t=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$（負舍）；
故存在t=$\frac{\sqrt{6}}{2}$滿足題意

點評 本題主要考查了橢圓方程基礎定義，以及韋達定理在橢圓與直線綜合中的應用，屬中等題．