Question

8．已知函數f（x）=x²-2ax+1．
（1）若對任意的實數x都有f（1+x）=f（1-x）成立，求實數 a的值；
（2）若f（x）在區間[1，+∞）上為單調遞增函數，求實數a的取值范圍；
（3）當x∈[-1，1]時，求函數f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得x=1為對稱軸，求得f（x）的對稱軸方程，即可得到a；
（2）求得f（x）的遞增區間，[1，+∞）為它的子區間，可得a的范圍；
（3）由函數圖象開口向上，對稱軸x=a，可得最大值只能在端點處取得，討論a=0，a＞0，a＜0，即可得到所求最大值．

解答 解：（1）由對任意的實數x都有f（1+x）=f（1-x）成立，
知函數f（x）=x²-2ax+1的對稱軸為x=a，即a=1；
（2）函數f（x）=x²-2ax+1的圖象的對稱軸為直線x=a，
由f（x）在[a，+∞）上為單調遞增函數，
y=f（x）在區間[1，+∞）上為單調遞增函數，得，a≤1；                                              
（3）函數圖象開口向上，對稱軸x=a，可得最大值只能在端點處取得．
當a＜0時，x=1時，函數取得最大值為：2-2a；
當a＞0時，x=-1時，函數取得最大值為：2+2a；
當a=0時，x=1或-1時，函數取得最大值為：2．

點評 本題考查二次函數的圖象和性質的運用，主要是單調性和最值，注意運用分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．