Question

9．已知定義在（1，+∞）上的函數f（x）滿足下列兩個條件：（1）對任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）當x∈（1，2）時，f（x）=-x²+2x．記函數g（x）=f（x）-k（x-1），若函數g（x）恰有兩個零點，則實數k的取值范圍是（　　）

• A． [1，2）
• B． [$\frac{4}{3}$，2）
• C． （$\frac{4}{3}$，2）
• D． [$\frac{4}{3}$，2]

Answer 1

分析 由題意得當x∈（1，2]時，f（x）=-x²+2x．，當x∈（2，4]時，f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+2x．；當x∈（4，8]時，f（x）=-$\frac{1}{4}$x²+2x．；函數g（x）恰有兩個零點，即函數y=f（x）的圖象與直線y=k（x-1）的圖象有且僅有兩個交點．

解答 解：由題意得當x∈（1，2]時，f（x）=-x²+2x，
當x∈（2，4]時，f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+2x；
當x∈（4，8]時，f（x）=-$\frac{1}{4}$x²+2x；
如圖，函數g（x）恰有兩個零點，即函數y=f（x）的圖象與直線y=k（x-1）的圖象有且僅有兩個交點，
而直線y=k（x-1）過定點（1，0），
若直線y=k（x-1）過點（2，2）時，有且僅有一個交點，k=2；
直線y=k（x-1）過點（4，4）時，有且僅有兩個交點，k=$\frac{4}{3}$，
因此實數k的取值范圍是[$\frac{4}{3}$，2）．
故選：B．

點評 本題考查了函數的零點，轉化思想是關鍵，屬于中檔題．