Question

15．已知兩個動點A、B和一個定點M（x₀，y₀）均在拋物線C：y²=2px（p＞0）上（A、B與M不重合）．設F為拋物線的焦點，Q為其對稱軸上一點，若$（\overrightarrow{QA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}）•\overrightarrow{AB}=0$，且$|\overrightarrow{FA}|$、$|\overrightarrow{FM}|$、$|\overrightarrow{FB}|$成等差數列．
（Ⅰ）求$\overrightarrow{OQ}$的坐標（可用x₀、y₀和p表示）；
（Ⅱ）若$|\overrightarrow{OQ}|\;=3$，$|\overrightarrow{FM}|\;=\frac{5}{2}$，A、B兩點在拋物線C的準線上的射影分別為A₁、B₁，求四邊形ABB₁A₁面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（a，0），求得$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{QA}$，$\overrightarrow{QA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}-a\;，\;\;\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}）$，因此可知得$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}-a+p=0$，根據等差數列的性質${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，即可求得a=x₀+p，則$\overrightarrow{OQ}=（{x_0}+p\;，\;\;0）$；
（Ⅱ）$|\overrightarrow{OQ}|\;=3\;，\;\;|\overrightarrow{FM}|\;=\frac{5}{2}$得${x_0}+p=3\;，\;\;{x_0}+\frac{p}{2}=\frac{5}{2}$，得p=1，代入拋物線方程，可得x₁+x₂=4，且${S_{AB{B_1}{A_1}}}=\frac{{[（{x_1}+\frac{1}{2}）+（{x_2}+\frac{1}{2}）]|{y_1}-{y_2}|}}{2}=\frac{5}{2}|{y_1}-{y_2}|$．由拋物線的性質求得丨y₁-y₂丨得取值范圍，即可求得四邊形ABB₁A₁面積的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（a，0），
則$\overrightarrow{AB}=（{x_2}-{x_1}\;，\;\;{y_2}-{y_1}）$，$\overrightarrow{QA}=（{x_1}-a\;，\;\;{y_1}）$，
∴$\overrightarrow{QA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}-a\;，\;\;\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}）$，
又$（\overrightarrow{QA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}）•\overrightarrow{AB}=0$，且$y_1^2=2p{x_1}$，$y_2^2=2p{x_2}$，
代入可得$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}-a+p=0$，又$|\overrightarrow{FA}|$、$|\overrightarrow{FM}|$、$|\overrightarrow{FB}|$成等差數列．
∴${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，
故a=x₀+p，
∴$\overrightarrow{OQ}=（{x_0}+p\;，\;\;0）$．…（6分）
（Ⅱ）由$|\overrightarrow{OQ}|\;=3\;，\;\;|\overrightarrow{FM}|\;=\frac{5}{2}$得${x_0}+p=3\;，\;\;{x_0}+\frac{p}{2}=\frac{5}{2}$，得p=1，故y²=2x，x₀=2，所以x₁+x₂=4，且${S_{AB{B_1}{A_1}}}=\frac{{[（{x_1}+\frac{1}{2}）+（{x_2}+\frac{1}{2}）]|{y_1}-{y_2}|}}{2}=\frac{5}{2}|{y_1}-{y_2}|$．
又$y_1^2+y_2^2=2（{x_1}+{x_2}）=8$，
則$y_1^2y_2^2=y_1^2（8-y_1^2）∈[0\;，\;\;16]$，y₁y₂∈[-4，4]，
${（{y_1}-{y_2}）^2}=y_1^2+y_2^2-2{y_1}{y_2}∈[0\;，\;\;16]$，注意到y₁≠y₂，得|y₁-y₂|∈（0，4]，
${S_{AB{B_1}{A_1}}}=\frac{5}{2}|{y_1}-{y_2}|\;∈（0\;，\;\;10]$，
四邊形ABB₁A₁面積的取值范圍為（0，10]．…（12分）

點評 本題考查拋物線的標準方程，直線與拋物線的位置關系，向量數量積的坐標表示及等差數列的性質，考查計算能力，屬于中檔題．