Question

3．已知a＞0，${（\frac{a}{{\sqrt{x}}}-x）^6}$展開式的常數項為15，則$\int_{-a}^a{（\sqrt{1-{x^2}}+sin2x）dx}$=$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 根據二項式定理計算a，再根據定積分的幾何意義和性質計算即可．

解答 解：∵${（\frac{a}{{\sqrt{x}}}-x）^6}$展開式的常數項為15，∴C${\;}_{6}^{2}$（$\frac{a}{\sqrt{x}}$）⁴x²=15，
∴a⁴=1，又a＞0，∴a=1．
∵y=$\sqrt{1-{x}^{2}}$表示半徑為1的上半圓，y=sin2x是奇函數，
∴${∫}_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx$=$\frac{π}{2}$，${∫}_{-1}^{1}sin2xdx$=0，
∴$\int_{-a}^a{（\sqrt{1-{x^2}}+sin2x）dx}$=$\frac{π}{2}+0$=$\frac{π}{2}$．
故答案為：$\frac{π}{2}$．

點評 本題考查了二項式定理，定積分的計算，屬于中檔題．