Question

7．狄利克雷是德國著名數學家，函數D（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x為有理數}\\{0，x為無理數}\end{array}\right.$被稱為狄利克雷函數，下面給出關于狄利克雷函數D（x）的五個結論：
①若x是無理數，則D（D（x））=0；
②函數D（x）的值域是[0，1]；
③函數D（x）偶函數；
④若T≠0且T為有理數，則D（x+T）=D（x）對任意的x∈R恒成立；
⑤存在不同的三個點A（x₁，D（x₁）），B（x₂，D（x₂）），C（x₃，D（x₃）），使得△ABC為等邊角形．
其中正確結論的序號是②③④．

Answer 1

分析 ①，根據函數的對應法則，可得不管x是有理數還是無理數，均有f（f（x））=1，從而可判斷①；
②，根據函數奇偶性的定義，可得f（x）是偶函數，可判斷②；
③，根據函數的表達式，結合有理數和無理數的性質，得f（x+T）=f（x），可判斷③；
④，取x₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x₂=0，x₃=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得A（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），B（0，1），C（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），恰好△ABC為等邊三角形恰好構成等邊三角形，可判斷④．

解答 解：①∵當x為有理數時，D（x）=1；當x為無理數時，D（x）=0，
∴當x為有理數時，D（D（x））=D（1）=1；當x為無理數時，D（D（x））=D（0）=1，
即不管x是有理數還是無理數，均有D（D（x））=1，故①不正確；
②∵有理數的相反數還是有理數，無理數的相反數還是無理數，
∴對任意x∈R，都有D（-x）=D（x），故②正確； 
③若x是有理數，則x+T也是有理數； 若x是無理數，則x+T也是無理數，
∴根據函數的表達式，任取一個不為零的有理數T，D（x+T）=D（x）對x∈R恒成立，故③正確； 
④取x₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x₂=0，x₃=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得D（x₁）=0，D（x₂）=1，D（x₃）=0，
∴A（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），B（0，1），C（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），恰好△ABC為等邊三角形，故④正確．
即真命題是②③④，
故答案為：②③④．

點評 本題給出特殊函數表達式，求函數的值并討論它的奇偶性，著重考查了有理數、無理數的性質和函數的奇偶性等知識，屬于中檔題．