Question

5．已知函數f（x）=x²+2ax+2定義在[-5，5]上．
（1）當a=-1時，求f（x）的最大值和最小值；
（2）求實數a的取值范圍，使f（x）在[-5，5]上具有單調性；  
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）a=2，則f（x）=（x-1）²-4，再利用二次函數的性質，求得它的最值．
（2）根據函數f（x）在[-5，5]上具有單調性，f（x） 的圖象的對稱軸方程為x=-a，可得-a≤-5，或-a≥5，由此求得a的范圍，
（3）對a進行分類討論即可求出函數的值域．

解答 解：（1）∵函數f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+2-a² （-5≤x≤5），
當a=-1時，f（x）=（x-1）²+1，（-5≤x≤5），
故當x=1時，函數取得最小值為1，當x=-5時，函數取得最大值為37．
（2）若函數f（x）在[-5，5]上具有單調性，
f（x）=x²+2ax+2 的圖象的對稱軸方程為x=-a，
∴-a≤-5，或-a≥5，
即a≥5或a≤-5，
（3）由函數f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+2-a² 
①當a≤-5，f（x）∈[27+10a，27-10a]；
②當-5＜a＜0時，f（x）∈[2-a²，27-10a]；
③當0≤a＜5時，[2-a²，27+10a]；
④當a≥5時，[27-10a，27+10a]．

點評 本題主要考查求二次函數在閉區間上的最值，二次函數的性質的應用，屬中檔題．