Question

17．已知橢圓C：x²+2y²=8，是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦AB為直徑的圓經過原點，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 假設存在斜率為1的直線l，設l的方程為y=x+m，代入橢圓方程，由韋達定理，及向量數量積的坐標運算求得$m=±\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$$∈[{-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}}]$，故存在這樣的直線l．

解答 解：假設存在斜率為1的直線l，使l被橢圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點，
設l的方程為y=x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由OA⊥OB知，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0．
由$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\{x^2}+2{y^2}=8\end{array}\right.$，整理得3x²+4mx+2m²-8=0，
∵△=16m²-4×3×（2m²-8）=-8m²+96≥0，得$-2\sqrt{3}≤m≤2\sqrt{3}$，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{-4m}{3}$，${x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-8}}{3}$，
${y_1}{y_2}={x_1}{x_2}+m（{x_1}+{x_2}）+{m^2}=\frac{{{m^2}-8}}{3}$，
${x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{{3{m^2}-16}}{3}=0$，
解得：$m=±\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$$∈[{-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}}]$，
故直線l存在，方程為$y=x±\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系，韋達定理及向量數量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．