Question

7．如果函數f（x）滿足：在定義域D內存在x₀，使得對于給定常數t，有f（x₀+t）=f（x₀）•f（t）成立，則稱f（x）為其定義域上的t級分配函數．研究下列問題：
（1）判斷函數f（x）=2x和g（x）=$\frac{2}{x}$是否為1級分配函數？說明理由；
（2）問函數φ（x）=）$\sqrt{\frac{a}{{x}^{2}+1}}$（a＞0）能否成為2級分配函數，若能，則求出參數a的取值范圍；若不能請說明理由；
（3）討論是否存在實數a，使得對任意常數t（t∈R）函數φ（x）=$\sqrt{\frac{a}{{x}^{2}+1}}$（a＞0）都是其定義域上的t級分配函數，若存在，求出參數a的取值范圍，若不能請說明理由．

Answer 1

分析 （1）若$f（x）=\frac{2}{x}$是1級分裂函數，則存在非0實數x₀，使得$\frac{1}{{{x_0}+1}}=\frac{1}{x_0}•2$，得x₀
若f（x）=2x是1級分裂函數，即存在實數x₀，使得 2（x₀+1）=2x₀•2，解得x₀，
（2）由題意，a＞0，D=R．存在實數x₀，使得$\sqrt{\frac{a}{{{{（{x_0}+2）}^2}+1}}}=\sqrt{\frac{a}{x_0^2+1}}•\sqrt{\frac{a}{5}}$，
所以$\frac{a}{{{{（{x_0}+2）}^2}+1}}=\frac{a^2}{5（x_0^2+1）}$化簡得$（a-5）x_0^2+4a{x_0}+5a-5=0$（5分）
當a=5時，x₀=-1，符合題意
當a＞0且a≠5時，由△≥0得16a²-4（a-5）（5a-5）≥0，化簡得a²-30a+25≤0，解得實數a的取值范圍
（3）當t=0時，滿足條件的a=1，若存在實數a滿足題意，a只能取1．再驗證a=1是否滿足條件．

解答 解：（1）若$f（x）=\frac{2}{x}$是1級分裂函數，則存在非0實數x₀，使得$\frac{1}{{{x_0}+1}}=\frac{1}{x_0}•2$，即x₀=-2，
所以函數$f（x）=\frac{2}{x}$是1級分裂函數．（2分）
若f（x）=2x是1級分裂函數，即存在實數x₀，使得 2（x₀+1）=2x₀•2，解得x₀=1，
故f（x）=2x是1級分裂函數                                      （3分）
（2）由題意，a＞0，D=R．存在實數x₀，使得$\sqrt{\frac{a}{{{{（{x_0}+2）}^2}+1}}}=\sqrt{\frac{a}{x_0^2+1}}•\sqrt{\frac{a}{5}}$，（4分）
所以$\frac{a}{{{{（{x_0}+2）}^2}+1}}=\frac{a^2}{5（x_0^2+1）}$化簡得$（a-5）x_0^2+4a{x_0}+5a-5=0$（5分）
當a=5時，x₀=-1，符合題意；
當a＞0且a≠5時，由△≥0得16a²-4（a-5）（5a-5）≥0，化簡得a²-30a+25≤0，解得$a∈[15-10\sqrt{2}，5）∪（5，15+10\sqrt{2}]$．        （7分）
綜上，實數a的取值范圍是$[15-10\sqrt{2}，15+10\sqrt{2}]$．
（3）存在，a=1
當t=0時，滿足條件的a=1，若存在實數a滿足題意，a只能取1．
下面驗證a=1是否滿足條件．
∵f（x₀+t）=f（x₀）•f（t），∴（x+t）²+1=（x²+1）（t²+1）⇒t=0或t=$\frac{2}{x}$，
故t可取任意實數，故a=1滿足條件．

點評 本題考查了函數的性質及新定義問題，考查了運算能力，屬于難題．