Question

已知函數（）
（1）討論函數的單調性；
（2）若函數在處取得極值，不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍；
（3）當時，證明不等式 .

Answer 1

（1）在上單調遞減，在上單調遞增；（2）；（3）見解析

試題分析：（1）求導數，對參數進行分類討論，當導函數大于0時，得到增區間，導函數小于0時得到減區間。（2）含參數不等式恒成立問題，一般要把要求參數分離出來，然后討論分離后剩下部分的最值即可。討論最值的時候要利用導數判斷函數的單調性。（3）證明不等式可以有很多方法，但本題中要利用（1）（2）的結論。構造函數，然后利用函數單調性給予證明。
試題解析：（1）函數的定義域為，        1分
當時，，從而，故函數在上單調遞減  3分
當時，若，則，從而，
若，則，從而，
故函數在上單調遞減，在上單調遞增；          5分
（2）由（1）得函數的極值點是，故      6分
所以，即，
由于，即.              7分
令，則
當時，；當時，
∴在上單調遞減，在上單調遞增；           9分
故，所以實數的取值范圍為          10分
（3）不等式       11分
構造函數，則，
在上恒成立，即函數在上單調遞增，      13分
由于，所以，得
故      14分