Question

5．如圖，在多面體ABC-A₁B₁C₁中，四邊形ABB₁A₁是正方形，AC=AB=1，A₁C=A₁B=BC，B₁C₁∥BC，B₁C₁=$\frac{1}{2}$BC
（I）求證：AB₁∥平面A₁C₁C；
（II）求直線BC₁與平面A₁C₁C成角的正弦值的大小．

Answer 1

分析 （I）取BC的中點E，連接AE，C₁E，B₁E．由已知可得四邊形CEB₁C₁是平行四邊形，B₁E∥C₁C．可得B₁E∥平面A₁C₁C．可得四邊形AEC₁A₁是平行四邊形，A₁C₁∥AE．于是平面AEB₁∥平面A₁C₁C，即可證明AB₁∥平面A₁C₁C．
（II）四邊形ABB₁A₁是正方形，可得A₁A⊥AB．根據(jù)AC=AB=1，A₁C=A₁B=BC，可得AC⊥A₁A，AC⊥AB．建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz．設(shè)平面A₁C₁C的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），可得$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{A}_{1}}=0}\end{array}\right.$，設(shè)直線BC₁與平面A₁C₁C成角為θ，可得sinθ=|cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{{C}_{1}B}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}B}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{{C}_{1}B}|}$．

解答 （I）證明：取BC的中點E，連接AE，C₁E，B₁E．
∵B₁C₁∥BC，B₁C₁=$\frac{1}{2}$BC，∴四邊形CEB₁C₁是平行四邊形，∴B₁E∥C₁C．
∵C₁C?平面A₁C₁C，B₁E?平面A₁C₁C，∴B₁E∥平面A₁C₁C，．
∵B₁C₁∥BC，B₁C₁=$\frac{1}{2}$BC，∴四邊形C₁EBB₁是平行四邊形，
∴B₁B∥C₁E，且．B₁B=C₁E，．
∴四邊形AEC₁A₁是平行四邊形，
∴A₁C₁∥AE．
∵A₁C₁?平面A₁C₁C，AE?平面A₁C₁C，∴AE∥平面A₁C₁C，
又AE∩EB₁=E，∴平面AEB₁∥平面A₁C₁C，又AB₁?平面AEB₁．
∴AB₁∥平面A₁C₁C．
（II）解：∵四邊形ABB₁A₁是正方形，∴A₁A⊥AB．
∵AC=AB=1，A₁C=A₁B=BC，
∴AC⊥A₁A，AC⊥AB．
建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz．
則A（0，0，0），C（1，0，0），A₁（0，0，1），C₁（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），B（0，1，0）．
$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{{C}_{1}B}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，-1），
設(shè)平面A₁C₁C的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{A}_{1}}=0}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\\{-x+z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1）．
設(shè)直線BC₁與平面A₁C₁C成角為θ，
則sinθ=|cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{{C}_{1}B}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}B}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{{C}_{1}B}|}$=$\frac{2}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+1}•\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查了空間線面面面平行垂直的判定與性質(zhì)定理、空間角、平行四邊形與正方形的判定與性質(zhì)定理、法向量的應用、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．