Question

8．函數f（x）=x²-|x|+a-1的圖象與x軸有四個交點，則a的取值范是（1，$\frac{5}{4}$）．

Answer 1

分析 根據f（x）的對稱性可知f（x）在（0，+∞）上有兩個零點，利用二次函數的性質列出不等式組即可解出a的范圍．

解答 解：∵f（-x）=（-x）²-|-x|+a-1=x²-|x|+a-1=f（x），
∴f（x）是偶函數，
∵f（x）的圖象與x軸有四個交點，
∴當x＞0時，f（x）=x²-x+a-1有2個零點，
∵f（x）=x²-x+a-1的圖象開口向上，對稱軸為x=$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（\frac{1}{2}）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a-1＞0}\\{a-\frac{5}{4}＜0}\end{array}\right.$，解得：1$＜a＜\frac{5}{4}$．
故答案為（1，$\frac{5}{4}$）．

點評 本題考查了函數零點與函數圖象的關系，二次函數的圖象與性質，屬于中檔題．