Question

函數y+1=

x

x-1

與y=2sinπx（-2≤x≤4）的圖象所有交點橫坐標之和是

 

．

Answer 1

考點：函數的零點與方程根的關系

專題：

分析：函數y+1=

x

x-1

，即 y=

1

x-1

，作出兩個函數的圖象，這兩個函數的圖象的公共的對稱中心是點（1，0），故交點個數為偶數，且對稱點的橫坐標之和為2，由此可得結論．

解答： 解：函數y+1=

x

x-1

，即 y=

1

x-1

，根據y₁=

1

x-1

的圖象與y₂=2sinπx（-2≤x≤4）的圖象關于點（1，0）對稱，
作出兩個函數的圖象，
當1＜x≤4時，y₁≥

1

3

，
而函數y₂在（1，4）上出現1.5個周期的圖象，在（2，

5

2

）上是單調增且為正數函數，
y₂在（1，4）上出現1.5個周期的圖象，在（

5

2

，3）上是單調減且為正數，
∴函數y₂在x=

5

2

處取最大值為2≥

2

3

，
而函數y₂在（1，2）、（3，4）上為負數與y₁的圖象沒有交點，
所以兩個函數圖象在（1，4）上有兩個交點（圖中C、D），
根據它們有公共的對稱中心（1，0），可得在區間（-2，1）上也有兩個交點（圖中A、B），
并且：x_A+x_D=x_B+x_C=2，故所求的橫坐標之和為4，
故答案為：4．

點評：本題考查函數的零點與方程的根的關系，函數的圖象特征，考查數形結合思想，屬于中檔題．