Question

已知函數g（x）=lnx+ax²+bx，函數g（x）的圖象在點（1，g（1））處的切線平行于x軸
（Ⅰ）確定a與b的關系
（Ⅱ）試討論函數g（x）的單調性
（Ⅲ）證明：對任意n∈N^*，都有ln（1+n）＞

1

22

+

2

32

+

3

42

…+

n-1

n2

成立．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：計算題,證明題,分類討論,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導得到g′（x），利用導數的幾何意義即可得出；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）用a表示b，得到g′（x），通過對a分類討論即可得到其單調性；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知當a=1時，函數g（x）=lnx+x²-3x在（1，+∞）單調遞增，可得lnx+x²-3x≥g（1）=-2，即lnx≥-x²+3x-2=-（x-1）（x-2），令x=1+

1

n

，則ln（1+

1

n

）＞

1

n

-

1

n2

，利用“累加求和”及對數的運算法則即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）g（x）=lnx+ax²+bx，
則g′（x）=

1

x

+2ax+b，
由函數g（x）的圖象在點（1，g（1））處的切線平行于x軸，得
g′（1）=1+2a+b=0，則b=-2a-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g′（x）=

(2ax-1)(x-1)

x

，
∵函數g（x）的定義域為（0，+∞），
∴①當a≤0時，2ax-1＜0在（0，+∞）上恒成立，
由g′（x）＞0得0＜x＜1，由g′（x）＜0得x＞1，
即函數g（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）單調遞減；
②當a＞0時，令g′（x）=0得x=1或x=

1

2a

，
若

1

2a

＜1，即a＞

1

2

時，由g′（x）＞0得x＞1或0＜x＜

1

2a

，由g′（x）＜0得

1

2a

＜x＜1，
即函數g（x）在（0，

1

2a

），（1，+∞）上單調遞增，在（

1

2a

，1）單調遞減；
若

1

2a

＞1，即0＜a＜

1

2

時，由g′（x）＞0得x＞

1

2a

或0＜x＜1，由g′（x）＜0得1＜x＜

1

2a

，
即函數g（x）在（0，1），（

1

2a

，+∞）上單調遞增，在（1，

1

2a

）單調遞減；
若

1

2a

=1，即a=

1

2

時，在（0，+∞）上恒有g′（x）≥0，
即函數g（x）在（0，+∞）上單調遞增，
綜上得：當a≤0時，函數g（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）單調遞減；
當0＜a＜

1

2

時，函數g（x）在（0，1）單調遞增，在（1，

1

2a

）單調遞減；在（

1

2a

，+∞）上單調遞增；
當a=

1

2

時，函數g（x）在（0，+∞）上單調遞增，
當a＞

1

2

時，函數g（x）在（0，

1

2a

）上單調遞增，在（

1

2a

，1）單調遞減；在（1，+∞）上單調遞增；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知當a=1時，函數g（x）=lnx+x²-3x在（1，+∞）單調遞增，
∴lnx+x²-3x≥g（1）=-2，即lnx≥-x²+3x-2=-（x-1）（x-2），
令x=1+

1

n

，則ln（1+

1

n

）＞

1

n

-

1

n2

，
∴ln（1+1）+ln（1+

1

2

）+…+ln（1+

1

n

）＞1-

1

12

+

1

2

-

1

22

+…+

1

n

-

1

n2

，
∴ln（1+n）＞

1

22

+

2

32

+

3

42

+…+

n-1

n2

．

點評：熟練掌握導數的幾何意義、分類討論、利用導數研究函數的單調性、善于利用已經證明的結論、“累加求和”及對數的運算法則、“分析法”、“構造法”等是解題的關鍵．