Question

如圖，BA是⊙O的直徑，AD是切線，BF、BD是割線，求證：BE•BF=BC•BD．

Answer 1

考點：相似三角形的判定

專題：立體幾何

分析：證法一：做出輔助線，根據兩條線平行，同位角相等，得到兩個角相等，在根據同弧所對的圓周角等于弦切角，得到兩個三角形相似，得到對應邊成比例．
證法二：做出輔助線，根據直徑所對的圓周角是一個直角，根據射影定理得到AB²=BC•BD，AB²=BE•BF，根據等量代換得到結論．

解答： 證明：證法一：連接CE，過B作⊙O的切線BG，則BG∥AD
∴∠GBC=∠FDB，又∠GBC=∠CEB
∴∠CEB=∠FDB
又∠CBE是△BCE和△BDF的公共角
∴△BCE∽△BDF，
∴

BC

BF

=

BE

BD

，
即BE•BF=BC•BD
證法二：連續AC、AE，
∵AB是直徑，AC是切線
∴AB⊥AD，AC⊥BD，AE⊥BF
由射線定理有AB²=BC•BD，AB²=BE•BF
∴BE•BF=BC•BD

點評：本題考查平面幾何的有關證明，是一個基礎題，這種題目解題的關鍵是看清要證明的四條線段之間的位置關系，得到結論．