Question

設離心率為e的雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0）的右焦點為F，直線l過點F且斜率為k．若直線l與雙曲線左、右支都有交點，則（　　）

• A、e²-k²＞1
• B、k²-e²＜1
• C、k²-e²＞1
• D、e²-k²＜1

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設直線方程為：y=k（x-c）代入雙曲線方程得：（b²-a²k²）x²+2a²k²cx-a²k²c²-a²b²=0，方程有兩根，x₁•x₂＜0，因-a²k²c²-a²b²必定小于0，故只需：b²-a²k²＞0即可，運用離心率公式由此能求出結果．

解答： 解：由題意可設直線方程為：y=k（x-c）代入雙曲線方程得：
（b²-a²k²）x²+2a²k²cx-a²k²c²-a²b²=0，方程有兩根，可設為x₁＞0，x₂＜0：
x₁•x₂=

-a2k2c2-a2b2

b2-a2k2

＜0，
因-a²k²c²-a²b²必定小于0，故只需：b²-a²k²＞0即可，
b²-a²k²=c²-a²-a²k²=a²e²-a²-a²k²=a²（e²-1-k²）＞0
即有e²-1-k²＞0，即e²-k²＞1．
故選A．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質，解題時要認真審題，注意雙曲線的性質的靈活運用．