Question

11．已知圓x²+y²=4與雙曲線$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}$=1（b＞0）的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，若四邊形ABCD的面積為2b，則b=$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓的方程為x²+y²=4，雙曲線的兩條漸近線方程為y=±$\frac{b}{2}$x，利用四邊形ABCD的面積為2b，求出A的坐標，代入圓的方程，即可得出結論．

解答 解：以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓的方程為x²+y²=4，雙曲線的兩條漸近線方程為y=±$\frac{b}{2}$x，
設A（x，$\frac{b}{2}$x），∵四邊形ABCD的面積為2b，
∴2x•bx=2b，
∴x=±1，
將A（1，$\frac{b}{2}$）代入x²+y²=4，可得1+$\frac{{b}^{2}}{4}$=4，∴b²=12，
∴b=$2\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查雙曲線的方程與性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．