Question

11．已知數列{a_n}滿足a₁=$\frac{7}{8}$，且a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{3}$，n∈N^*．
（1）求證：{a_n-$\frac{2}{3}$}是等比數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）對a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{3}$進行變形處理得到：a_n+1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}$a_n-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$（a_n-$\frac{2}{3}$），根據等比數列的性質證得結論；
（2）根據{a_n-$\frac{2}{3}$}是以$\frac{5}{24}$為首項，$\frac{1}{2}$為公比的等比數列來推知數列{a_n}的通項公式．

解答 （1）證明：由已知得：a_n+1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}$a_n-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$（a_n-$\frac{2}{3}$），
因為a₁=$\frac{7}{8}$，
所以a₁-$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{24}$，
所以{a_n-$\frac{2}{3}$}是以$\frac{5}{24}$為首項，$\frac{1}{2}$為公比的等比數列；
（2）解：由（1）知，{a_n-$\frac{2}{3}$}是以$\frac{5}{24}$為首項，$\frac{1}{2}$為公比的等比數列，
所以a_n-$\frac{2}{3}$=$\frac{5}{24}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
所以a_n=$\frac{5}{24}$•（$\frac{1}{2}$）^n-1+$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查數列遞推式，考查構造法證明等比數列，考查數列的通項，解題的關鍵是構造法證明等比數列．