Question

2．設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且$\frac{π}{4}$$＜B＜\frac{π}{2}$，acosB-bcosA=$\frac{3}{5}$c，則tan2B•tan³A的最大值為-512．

Answer 1

分析 首先利用正弦定理化邊為角，可得2RsinAcosB-2RsinBcosA=$\frac{3}{5}$2RsinC，然后利用誘導公式、同角的三角函數的基本關系式及兩角和與差的正弦公式可得tanA=4tanB，再根據兩角差的正切公式、均值不等式求解即可．

解答 解：∵acosB-bcosA=$\frac{3}{5}$c，
∴2RsinAcosB-2RsinBcosA=$\frac{3}{5}$2RsinC，
∴sinAcosB-sinBcosA=$\frac{3}{5}$sinC，
∴sinAcosB-sinBcosA=$\frac{3}{5}$sin（A+B），
∴sinAcosB-sinBcosA=$\frac{3}{5}$（sinAcosB+sinBcosA），
∴2sinAcosB=8sinBcosA，
∴tanA=4tanB，
∵$\frac{π}{4}$$＜B＜\frac{π}{2}$，
∴tanB＞1，
∴tan2B•tan³A=$\frac{2tanB}{1-{tan}^{2}B}$•tan³A=$\frac{128ta{n}^{4}B}{1-{tan}^{2}B}$，
令x=tan²B，則t＞1，
y=$\frac{128{t}^{2}}{1-t}$，則y′=$\frac{128{（2-t}^{\;}）}{{（1-t）}^{2}}$，
當1＜t＜2時，y′＞0，y=$\frac{128{t}^{2}}{1-t}$為增函數，
當t＞2時，y′＜0，y=$\frac{128{t}^{2}}{1-t}$為減函數，
故當t=2時，y=$\frac{128{t}^{2}}{1-t}$取最大值-512，
故答案為：-512．

點評 本題考查了正弦定理、兩角和與差的正弦公式、兩角差的正切公式、同角的三角函數的基本關系式、均值不等式等基礎知識，考查了基本運算能力，考查了轉化思想，屬于中檔題．