Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=a＞2，a_n=

an-1+2

（n≥2，n∈N^*）
（1）證明：對n∈N^*，a_n＞2；
（2）判斷數列{a_n}的單調性，并說明你的理由；
（3）設S_n為數列{a_n}的前n項和，求證：當a=3時，S_n＜2n+

4

3

．

Answer 1

考點：數列遞推式,數列的求和

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）利用數學歸納法進行證明：對n∈N^*，a_n＞2；
（2）根據函數的單調性的定義進行判斷數列{a_n}的單調性即可；
（3）利用放縮法，結合數列的單調性進行證明即可．

解答： 解：（1）先用數學歸納法證明：a_n＞2；
①當n=1時，a₁=a＞2，結論正確；
②假設n=k，（k≥2）時結論成立，即a_k＞2，
則當n=k+1時，a_k+1=

ak+2

＞

2+2

=2，
∴當n=k+1時，結論正確．
故由①、②及數學歸納法原理，對一切的n∈N^*，a_n＞2成立．
（2）數列{a_n}是單調遞減的數列．
∵an+12-an2=an+2-an2=-（a_n+1）（a_n-2），
又a_n＞2，
∴an+12-an2＜0，
即a_n+1＜a_n．
這說明數列{a_n}是單調遞減的數列．
（3）由a_n=

an-1+2

，得an+12=a_n+2，
∴an+12-4=a_n-2，
根據（1）a_n＞2，
∴

an+1-2

an-2

=

1

an+1+2

＜

1

4

∴a_n+1-2＜

1

4

（a_n-2）＜（

1

4

）²（a_n-1-2）＜（

1

4

）³（a_n-2-2）＜…＜（

1

4

）ⁿ（a₁-2），
∴當a=3時，a_n+1-2＜（

1

4

）ⁿ，
即a_n+1＜2+（

1

4

）ⁿ，．
∴當n=1時，當 時，即．
當 時，S₁=3＜2+

4

3

，
當n≥2時，S_n=3+a₂+a₃+a₄+…+a_n＜3+[2+（

1

4

）]+[2+（

1

4

）²]+[2+（

1

4

）³]+…+[2+（

1

4

）ⁿ]
=3+2（n-1）+

1 4

1- 1 4

[1-(

1

4

)n-1]=2n+1+

1

3

[1-（

1

4

）^n-1]＜2n+

4

3

．

點評：本題主要考查數列與不等式的關系的證明，利用數學歸納法以及放縮法是解決本題的關鍵．綜合性較強，運算量較大，有一定的難度．