Question

13．設△ABC的內角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，且acosB=3，bsinA=4．若△ABC的面積S=10，則△ABC的周長為（　�。�

• A． 10
• B． $10+2\sqrt{3}$
• C． $10+2\sqrt{5}$
• D． 12

Answer 1

分析 由圖及已知作CD垂直于AB，在直角三角形BDC中求BC的長，由面積公式解出邊長c，再由余弦定理解出邊長b，即可得解三邊的和即周長的值．

解答 解：過C作CD⊥AB于D，則由CD=bsinA=4，BD=acosB=3，
∴在Rt△BCD中，a=BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=5，
∵由面積公式得S=$\frac{1}{2}$×AB×CD=$\frac{1}{2}$×AB×4=10，得c=AB=5，
又acosB=3，得cosB=$\frac{3}{5}$，
由余弦定理得：b=$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}-2accosB}$=$\sqrt{25+25-2×25×\frac{3}{5}}$=2$\sqrt{5}$，
△ABC的周長l=5+5+2$\sqrt{5}$=10+2$\sqrt{5}$．
故選：C．

點評 本題主要考查了射影定理及余弦定理，三角形面積的公式在解三角形中的應用，考查了數形結合思想和轉化思想，屬于基礎題．