Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）證明： 時(shí)， ；

（Ⅲ）比較三個(gè)數(shù)： ， ， 的大小（為自然對數(shù)的底數(shù)），請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)分和討論其單調(diào)性，

（Ⅱ）等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)利用其在上單調(diào)性證明，再構(gòu)造利用其在上的單調(diào)性;

（Ⅲ）由（Ⅱ）的結(jié)論，通過賦值可得證.

試題解析：

（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)， ，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，由得，，由得，

所以函數(shù) 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

（Ⅱ）①因?yàn)?/span>，不等式等價(jià)于，令，則，由得，所以不等式 （）等價(jià)于： ，即： （），由（Ⅰ）得：函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即： ．

②因?yàn)?/span>，不等式等價(jià)于，令，則，所以，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，即．

由①②得： 時(shí)，

（Ⅲ）由（Ⅱ）得： 時(shí)， ，所以令，得，即，所以；

又因?yàn)?/span> （），所以，令得： ，所以，從而得 ．

所以， ．

點(diǎn)晴:本題主要考查函數(shù)單調(diào)性，不等式恒成立，及不等式的證明問題.要求單調(diào)性，求導(dǎo)比較導(dǎo)方程的根的大小，解不等式可得單調(diào)區(qū)間，要證明不等式恒成立問題可轉(zhuǎn)化為構(gòu)造新函數(shù)證明新函數(shù)單調(diào)，只需要證明其導(dǎo)函數(shù)大于等于0（或者恒小于等于0即可），要證明一個(gè)不等式，我們可以先根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù)，求其值最值即可.這類問題的通解方法就是：劃歸與轉(zhuǎn)化之后，就可以假設(shè)相對應(yīng)的函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，圖像與性質(zhì)，進(jìn)而求解得結(jié)果.