Question

【題目】已知橢圓C： 的離心率為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為．

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為，求△AOB面積的最大值，并求此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）由離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為可得從而求得的值，進(jìn)而可得求橢圓的方程；（2）直線的方程為，由點(diǎn)到直線距離公式可得與橢圓方程聯(lián)立可得，再根據(jù)弦長公式可得，從而可得，進(jìn)而可得△面積的最大值.

試題解析：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意∴，

∴所求橢圓方程為．

（2）設(shè)， ，

①當(dāng)⊥軸時(shí)， 為，代入，得，∴；

②當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，

由已知，得，

把代入橢圓方程，整理，

， ， ，

∴ ，

當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．

綜上所述．

∴當(dāng)最大時(shí)，△面積取最大值．