Question

雙曲線x²-y²=4，與過點（1，0）的直線有且只有一個交點．這樣的直線有

 

條．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設直線l的方程為y=k（x-1），與雙曲線的方程聯立轉化為分類討論其解的情況，即可得出．

解答： 解：雙曲線的標準方程為

x2

4

-

y2

4

=1，
由題意可知直線l的斜率存在，
設直線l的方程為y=k（x-1），
聯立

x2-y2=4 y=k(x-1)

，
化為（1-k²）x²+2k²x-k²-4=0，
①當1-k²=0時，解得k=±1，得到直線l：y=±（x-1），
分別與漸近線y=±x平行，因此與雙曲線只有一個交點，滿足題意；
②當1-k²≠0時，由△=4k⁴-4（1-k²）（-k²-4）=0，
整理得k²=

4

3

，即k=±

2 3

3

．
得到直線l：y=±

2 3

3

（x-1），
此時直線l分別與雙曲線的右支相切，故只有一個交點．
綜上可知：過定點P（1，0）作直線l與雙曲線有且只有一個交點的這樣的直線l只有4條．
故答案為：4

點評：本題考查了直線與雙曲線的位置關系轉化為方程聯立利用判別式，分類討論等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．