Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，若S_n+n=

3

2

a_n．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{b_n}滿足b_n=a_n+λ（-2）ⁿ且數列{b_n}為遞增數列，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點：數列遞推式,數列的函數特性

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知得a_n=1+

3

2

a_n-

3

2

a_n-1，從而a_n=3a_n-1-2，由此求出a_n=3ⁿ-1．
（Ⅱ）b_n=a_n+λ（-2）ⁿ=3ⁿ-1+λ（-2）ⁿ，從而得到

3-1-2λ＜9-1+4λ 9-1+4λ＜27-1-8λ

，由此能求出λ的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n+n=

3

2

a_n，①
∴當n≥2時，S_n-1+n-1=

3

2

an-1，②
兩式相減得a_n=1+

3

2

a_n-

3

2

a_n-1，即a_n=3a_n-1-2，
當n≥2時，

an-1

an-1-1

=

3an-1-3

an-1-1

=3為定值，
由S_n=n+

3

2

a_n，令n=1，得a₁=-2．
所以數列{a_n-1}是等比數列，公比是3，首項為-3．
∴a_n-1=3×3^n-1，即a_n-1=3ⁿ．
∴a_n=3ⁿ-1．
（Ⅱ）b_n=a_n+λ（-2）ⁿ=3ⁿ-1+λ（-2）ⁿ，
∵數列{b_n}為遞增數列，
∴

b1＜b2 b2＜b3

，即

3-1-2λ＜9-1+4λ 9-1+4λ＜27-1-8λ

，
解得-1＜λ＜

3

2

．

點評：本題考查數列{a_n}的通項公式的求示，考查λ的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意構造法的合理運用．