Question

某環保部門對某處的環境情況用“污染指數”來監測，據測定，該處的“污染指數”與附近污染源的強度和距離之比成正比，比例常數為k（k＞0）．現已知相距36km的A，B兩家化工廠（污染源）的污染強度分別為正數1，a，它們連線上任意一點C處的污染指數y等于兩化工廠對該處的污染指數之和．設AC=x（km）．
（1）試將y表示為x的函數，指出其定義域；
（2）當x=6時，C處“污染指數”最小，試求B化工廠的污染強度a的值．

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用

專題：應用題,導數的綜合應用

分析：（1）設點C受A污染源污染程度為

k

x

，點C受B污染源污染程度為

ka

36-x

，其中k為比例系數，且k＞0，則點C處受污染程度是二者之和；
（2）因為y=

k

x

+

ka

36-x

，所以y′=k[-

1

x2

+

a

(36-x)2

]，令y′=0，x=6，得a=25．

解答： 解：（1）設點C受A污染源污染程度為

k

x

，點C受B污染源污染程度為

ka

36-x

，其中k為比例系數，且k＞0．
從而點C處受污染程度y=

k

x

+

ka

36-x

．
（2）因為y=

k

x

+

ka

36-x

，所以y′=k[-

1

x2

+

a

(36-x)2

]，
令y′=0，x=6，得a=25，經驗證符合題意．
所以，B化工廠的污染強度a的值為25．

點評：本題考查了正比例，反比例函數模型的應用，并且考查了利用導數法求函數的最值問題；解題時要細心審題，列出函數解析式，并做出正確解答．