Question

設

a

、

b

、

c

有公共起點

c

=m

a

+n

b

，要使

a

、

b

、

c

的終點在一條直線上，則m n應滿足

 

條件．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應用

分析：依題意，設

OA

=

a

，

OB

=

b

、

OC

=

c

，則A、B、C三點共線⇒

AB

=λ

AC

（λ∈R，且λ≠0），轉化為

OC

=

λ-1

λ

OA

+

1

λ

OB

，與已知

c

=m

a

+n

b

聯立，可得m與n滿足的關系．

解答： 解：∵

a

、

b

、

c

有公共起點，不妨設

OA

=

a

，

OB

=

b

、

OC

=

c

，
∵

a

、

b

、

c

的終點在一條直線上，即A、B、C三點共線，
∴

AB

=λ

AC

（λ∈R，且λ≠0），
即

OB

-

OA

=λ（

OC

-

OA

），
整理得：

OC

=

λ-1

λ

OA

+

1

λ

OB

，即

c

=

λ-1

λ

a

+

1

λ

b

，
∵

c

=m

a

+n

b

，
∴m=

λ-1

λ

，n=

1

λ

，
∴m+n=

λ-1

λ

+

1

λ

=1，
故答案為：m+n=1．

點評：本題考查平面向量的基本定理及其意義，著重考查向量共線定理的應用，考查轉化思想．