Question

18．已知函數f（x）=2alnx+x²-2x（a∈R）在定義域上為單調遞增函數，則a的最小值是（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 求出函數的導數，問題轉化為a≥x-x²在（0，+∞）恒成立，令g（x）=x-x²，（x＞0），根據函數的單調性，求出g（x）的最大值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{2a}{x}$+2x-2=$\frac{{2（x}^{2}-x+a）}{x}$，
若f（x）在（0，+∞）遞增，
則x²-x+a≥0在（0，+∞）恒成立，
即a≥x-x²在（0，+∞）恒成立，
令g（x）=x-x²，（x＞0），
g′（x）=1-2x，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，
令g′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，
∴g（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞增，在（$\frac{1}{2}$，+∞）遞減，
∴g（x）_max=g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，
∴a≥$\frac{1}{4}$，
故選：A．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，是一道中檔題．