Question

8．已知離心率e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$的雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與雙曲線C的一條漸近線相交于O、A兩點，若△AOF的面積為1，則實數a的值為（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 利用雙曲線的離心率求出漸近線方程，利用三角形的面積，結合離心率即可得到方程組求出a即可．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右焦點為F，O為坐標原點，
以OF為直徑圓與雙曲線C的一條漸近線相交于O，A兩點，
所以FA⊥OA，則FA=b，OA=a，
△AOF的面積為1，
可得$\frac{1}{2}$ab=1，
雙曲線的離心率e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{4}$，
即$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，
解得b=1，a=2．
故選：C．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的位置關系的應用，雙曲線的簡單性質，考查計算能力．