Question

13．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{e^x}+ax，x＞0\\ \frac{1}{e^x}-ax，x＜0\end{array}$，若函數f（x）有四個零點，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A． $（{-∞，-\frac{1}{e}}）$
• B． （-∞，-e）
• C． （e，+∞）
• D． $（{\frac{1}{e}，+∞}）$

Answer 1

分析 由題意可知：函數f（x）為偶函數，只需e^x+ax=0有兩個正根，即-$\frac{{e}^{x}}{x}$=a有兩個正根，設g（x）=-$\frac{{e}^{x}}{x}$，求導g′（x）=-$\frac{{e}^{x}x-{e}^{x}}{{x}^{2}}$=-$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，利用函數的單調性求得g（x）的最大值，要使-$\frac{{e}^{x}}{x}$=a有兩個正跟，即使g（x）與y=a有兩個交點，則實數a的取值范圍（-∞，-e）．

解答 解：由函數f（x）為偶函數，可知使函數f（x）有四個零點，
只需要e^x+ax=0有兩個正根，
即-$\frac{{e}^{x}}{x}$=a有兩個正根，
設g（x）=-$\frac{{e}^{x}}{x}$，求導g′（x）=-$\frac{{e}^{x}x-{e}^{x}}{{x}^{2}}$=-$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，g（x）在（0，1）單調遞增，
令g′（x）＜0，解得：x＞1，g（x）在（1，+∞）單調遞減，
∴g（x）在x=2時取最大值，最大值g（1）=-e，
要使-$\frac{{e}^{x}}{x}$=a有兩個正跟，即使g（x）與y=a有兩個交點，
∴實數a的取值范圍（-∞，-e），
故選B．

點評 本題考查函數的奇偶性的應用，考查利用導數求函數的單調性及最值，考查導數的求導公式，考查計算能力，屬于中檔題．