Question

5．為了研究某學科成績是否在學生性別有關，采用分層抽樣的方法，從高三年級抽取了30名男生和20名女生的該學科成績，得到如下所示男生成績的頻率分布直方圖和女生成績的莖葉圖，規定80分以上為優分（含80分）

（Ⅰ）求男生和女生的平均成績
（Ⅱ）請根據圖示，將2×2列聯表補充完整，并根據此列聯表判斷，能否在犯錯誤概率不超過10%的前提下認為“該學科成績與性別有關”？

	優分	非優分	合計
男生
女生
合計			50

（Ⅲ）用分層抽樣的方法從男生和女生中抽取5人進行學習問卷調查，并從5人中選取兩名學生對該學科進行考后重測，求至少有一名女生的概率
參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k2）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001
k0	0.46	0.71	1.32	2.07	2.71	3.84	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據平均數的定義分別求出男生和女生的平均成績即可；
（Ⅱ）將2×2列聯表補充完整，求出k的值，比較即可；
（Ⅲ）通過分層抽樣的方法抽取男生$\frac{30}{50}$×5=3（人），記為a，b，c，女生$\frac{20}{50}$×5=2，記為：1，2，求出滿足條件的概率即可．

解答 解：（Ⅰ）設男生和女生的平均成績分別是$\overline{{x}_{1}}$，$\overline{{x}_{2}}$，
則${\overline{x}}_{1}$=45×0.1+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.2+95×0.1=72，
${\overline{x}}_{2}$=$\frac{1}{20}$[40+50×2+60×2+70×4+80×7+90×4+（4+3+5+19+32+4）]=76.35；
（Ⅱ）請根據圖示，將2×2列聯表補充完整，如圖示：

	優分	非優分	總計
男生	9	21	30
女生	11	9	20
總計	20	30	50

假設H₀：該學科成績與性別無關，
K²的觀測值k=$\frac{5{0（9×9-11×21）}^{2}}{20×30×20×30}$=3.125，
∵3.125＞2.71，
∴在犯錯誤概率不超過10%的前提下認為“該學科成績與性別有關”；
（Ⅲ）分層抽樣的方法抽取男生$\frac{30}{50}$×5=3（人），記為a，b，c，
女生$\frac{20}{50}$×5=2，記為：1，2，
從5人中選取兩名學生共有：
（a，b），（a，c），（a，1），（a，2），（b，c），（b，1），（b，2），
（c，1），（c，2），（1，2）共10個結果，
其中至少1名女生共7個結果，
故滿足條件的概率是p=$\frac{7}{10}$．

點評 本題考查了獨立性檢驗問題，考查考查分層抽樣以及概率的計算，是一道中檔題．