Question

15．已知${（3{x^2}+\sqrt{x}）^n}$的展開式各項系數和為M，${（3{x^2}-\sqrt{x}）^{n+5}}$的展開式各項系數和為N，（x+1）ⁿ的展開式各項的系數和為P，且M+N-P=2016，試求${（2{x^2}-\frac{1}{x^2}）^{2n}}$的展開式中：
（1）二項式系數最大的項；
（2）系數的絕對值最大的項．

Answer 1

分析 先求出n的值，再寫出展開式的通項，
（1）根據展開式的通項即可求出二項式系數最大的項，
（2）若第r+1項T_r+1的系數的絕對值最大，得到關于r的不等式組，解得即可．

解答 解：∵M+N-P=4ⁿ+2ⁿ⁺⁵-2ⁿ=（2ⁿ）²+31•2ⁿ=2016，
∴（2ⁿ）²+31•2ⁿ-2016=0，
∴（2ⁿ+63）（2ⁿ-32）=0，
∴2ⁿ=32，
∴n=5，
∴${（2{x^2}-\frac{1}{x^2}）^{10}}$的展開式的通項${T_{r+1}}=C_{10}^r{（2{x^2}）^{10-r}}{（-\frac{1}{x^2}）^r}={（-1）^r}{2^{10-r}}C_{10}^r{x^{20-4r}}$，
（1）${（2{x^2}-\frac{1}{x^2}）^{10}}$的展開式共有11項，二項式系數最大的項為中間項第6項，其值為${T_6}={（-1）^5}{2^5}C_{10}^5=-8064$，
（2）第r+1項T_r+1的系數的絕對值為${A_{r+1}}={2^{10-r}}C_{10}^r$，
若第r+1項T_r+1的系數的絕對值最大，則{$\begin{array}{l}{A_{r+1}}≥{A_r}\\{A_{r+1}}≥{A_{r+2}}\end{array}$，
可得$\frac{8}{3}≤r≤\frac{11}{3}$，又r∈N^*，∴r=3，
故系數的絕對值最大的項為${T_4}={（-1）^3}{2^7}C_{10}^3{x^8}=-15360{x^8}$．

點評 本題考查二項展開式的二項式系數的性質；利用二項展開式的通項公式求展開式的特定項．